Алиса в стране математики - Страница 24

непобедимой. И только в конце XIX века немецкий математик Линдеман нашёлнеожиданное решение этой задачи: он строго доказал, что с помощьютолько циркуля и линейки построить круг и квадрат одинаковой площадиневозможно! Это доказательство произвело на математиков такое сильноевпечатление, что Линдемана нарекли «победителем задачи о квадратурекруга». Такой титул говорит, что строгое доказательство отсутствиярешения математики считают тоже решением: ведь решитьзадачу — это найти все решения или доказать, что решенийнет!

Вторая знаменитая задача называется «удвоение куба».О происхождении этой задачи существует даже легенда.

Однажды на острове Делос в Эгейском море вспыхнула эпидемия чумы. В тевремена перед чумой были бессильны даже мудрые греки. Единственное, что онимогли сделать — обратиться за помощью к богам. Однако беседоватьс богами напрямую мог не каждый древний грек — этим занимались только«оракулы», то есть «предсказатели судеб». И воторакул, посоветовавшись с богом искусств Аполлоном, объявил, что дляспасения от чумы надо удвоить золотой жертвенник Аполлону. Этотжертвенник имел форму куба, и жители Делоса поспешили как можно скорейотлить из золота ещё один такой же куб и поставили его поверх первого.

Однако чума не прекратилась.

— Надо удвоить жертвенник, сохранив его форму, — объяснилоракул. — Новый жертвенник должен быть тоже кубом, но чтобынайти размеры нового куба, Аполлон разрешает вам пользоваться толькоциркулем и линейкой!

Бедные делосцы, не сумев сами решить эту задачу, обратилиськ знаменитому философу Платону (он так уважал математику, что над входомв сад, где он, прогуливаясь, занимался со своими учениками, велел начертать:«Пусть не входит сюда не знающий геометрии»). Однако и Платон несмог решить задачу об удвоении куба.

Взялся за эту задачу и другой греческий математик — Архит. Он былне только выдающимся математиком, но и хорошим полководцем, однако дажематематик-полководец не смог победить задачу об удвоении куба: хотя они нашёл очень красивое решение, но оно требовало не только циркуляи линейки. К многочисленным заслугам Архита принадлежит, между прочим,и спасение Платона от рабства — как видите, жизнь древнегреческихучёных была не такой уж безмятежной: им приходилось не только прогуливатьсяс учениками по садам!

Второй из этих кубов имеет примерно вдвое больший объем, чем первый:если бы это были сосуды для воды, то во второй из них поместилось бы водывдвое больше, чем в первый

Примерно в то же время (в IV веке до нашей эры) «удвоениемкуба» занимался ещё один древнегреческий математик — Менехм.О нём существует красивая легенда. Однажды Александр Македонский обратилсяк Менехму:

— Я хочу изучить всю премудрость греческой науки. Но скажи: нет ли дляцарей более короткого пути к геометрии?

— К геометрии нет царских путей, — ответил царю учёный. — Длявсех — одна дорога!

Эта беседа настолько замечательна, что её приписывают ещё одному царюи ещё одному учёному: царю Птолемею и математику Евклиду, которыйдействительно собрал «всю премудрость греческой науки» в большуюкнигу, которую он назвал «Начала» (Евклид уже тогда понимал, чтоэто только начало, однако до сих пор в школах всего мира геометриюизучают почти по Евклиду!).

Среди греческих учёных, занимавшихся задачей об удвоении куба, были Эратосфен, который первым придумал, как «отсеивать» простыечисла от составных. Этот способ называется «решето Эратосфена»и используется до сих пор, хотя вычисления проводятся сегодня наэлектронно-вычислительных машинах. Эратосфен, кстати, был не толькопревосходным математиком, но и неплохим спортсменом — олимпийскимчемпионом по пятиборью! Но и олимпийский чемпион не смог решить задачу обудвоении куба.

Эта задача «дразнила» математиков больше двух тысяч лет, и,наконец, Декарт заподозрил неладное: употребив сам немало сил на безуспешныепопытки «удвоения куба», он предположил, что эта«простая» задача вообще не имеет решения. Однако только черездва века после Декарта другой французский математик, Ванцель, смог строгодоказать, что задача об удвоении куба действительно неразрешима! Каки в задаче о квадратуре круга, безупречное доказательство отсутствиярешения и стало настоящим решением задачи.

Третьей знаменитой задачей древности была задача о «трисекцииугла»: как с помощью циркуля и линейки разделить любой уголна три равные части? Эта задача продержалась также больше двух тысячелетийи «победил» её тот же самый Ванцель — доказал, что онанеразрешима.

Этот угол разделен примерно на три равные части

«Три знаменитые задачи древности» стали знаменитыми нетолько потому, что каждая из них оказалась крепким орешком: они сослужилидобрую службу математике, потому что при попытках их решения рождались новыеобласти этой науки.

А сейчас мы расскажем о задаче, отсутствие решения у которой измениловесь ход развития математики.

Вот эта задача: как измерить точно длину любого отрезка?

Начать, конечно, надо с выбора «единицы измерения», то естьотрезка, длина которого принята за единицу. А потом надо откладыватьэту «единицу» вдоль того отрезка, который мы хотим измерить.Если, например, единичный отрезок умещается в нашем отрезке ровно три раза,мы говорим, что длина отрезка равна трём единицам.