Алиса в стране математики - Страница 36

прошел и одной стены, а ты уже заявляешь, что обойти весь за́моквообще невозможно! Откуда ты это знаешь?

— В каждой башне за́мка сходятся три стены, —сказала Алиса. — А это значит, что каждая из четырёх башен может бытьтолько либо началом, либо концом обхода!

— Почему? — не поняла Королева.

— Потому что в середине обхода могут быть только башни, в которыхсходится чётное число стен, — объяснила Алиса. — Ведь прикаждом «заходе» в такую башню надо пройти две стены: поодной стене прийти в башню, а по второй — уйти из башни!Поэтому ни одна из четырёх башен вашего нового за́мка не можетбыть в середине обхода, и, значит, обойти весь за́мок так, какпредложил Король, невозможно! — закончила свое рассуждение Алиса.

Королева, нахмурив лоб, задумалась. Все гости стояли молча и смотрели нанее. Наконец, Королева заговорила.

— Зачем вы придумали такую игру, в которую невозможно выиграть? —с упрёком обратилась она к Королю.

— Почему невозможно? — возразил Король. — Как раз вы-товсё время выигрываете! Вы же любите выигрывать? Теперь вы дажезаранее знаете, что выиграете — вы говорили, что тогда вамиграть интереснее всего?

— Но теперь и они все знают, что не смогут выиграть! —воскликнула Королева, показывая на гостей.

— Тем лучше, — отозвался Король. — Значит, теперь вы можетевыигрывать, даже не играя — разве это не самое интересное?

Гости по-прежнему не сводили глаз с Королевы. Она медленно обвела гостейвзглядом и обратилась к Алисе:

— Наверное, ты была права: выигрывать без игры не так интересно... Играотменяется! — громко объявила она.

Валет Червей благодарно посмотрел на Алису, и она ответила ему кивком.

— Раз игра отменяется, надо помиловать и двух приговорённыхВалетов, — сказала Алиса, обращаясь к Королеве.

— Конечно, — поддержал Король Алису. — Если отменяется игра,то отменяются и все проигрыши!

Гости с облегчением вздохнули, но тут Королева сказала:

— Переходим к суду.

НАУКА, РОДИВШАЯСЯ ИЗ ГОЛОВОЛОМКИ

В начале восемнадцатого века жители Кёнигсберга, гуляя по своему старинномугороду, обсуждали друг с другом важный вопрос: как обойти семь городскихмостов, пройдя по каждому из них только один раз?

Вот как были расположены кёнигсбергские мосты:

Может быть, вам удастся их «обойти»? Попробуйте. Но если вамне повезет, не огорчайтесь: ни один житель Кёнигсберга так и не смог этогосделать! А вот если это вам удалось, значит... значит, вы простоошиблись! Скорее всего, забыли пройти по какому-то мосту или прошлиего дважды. Дело в том, что обойти все кёнигсбергские мосты по одному разуневозможно! Сейчас мы докажем это.

Давайте «построим» на обоих берегах реки и на двух островахчетыре башни и соединим их стенами так, чтобы по каждому мосту прошлаодна стена. Вот как будет выглядеть наш за́мок из четырех башен,соединенных семью стенами (стены мы изобразили так, как на географическихкартах изображают Великую Китайскую стену):

Если можно обойти все семь мостов, пройдя по каждому из них только одинраз, то и наш новый за́мок тоже можно обойти, проходя один раз каждую изсеми стен. Однако посмотрите — ни одна из четырёх башен не может бытьв середине обхода, потому что в любой башне нашего«кёнигсбергского за́мка» сходится нечётное число стен!И поэтому обойти его, проходя один раз по каждой стене, невозможно(так же, как и новый королевский за́мок Королевы Червей). Обойти за́мокможно только в том случае, когда башен с нечётным числом стен не большедвух — тогда одна из «нечётных» башен должна бытьначалом обхода, а вторая — его концом. (Если все башни«чётные», то начать обход можно из любой башни. Тогда в этой жебашне обход и закончится.)

Задачу о кёнигсбергских мостах первым решил Эйлер в 1736 году. Эйлер былвеликим математиком и поэтому не ограничился только кёнигсбергскимимостами — он решил задачу в общем виде, то есть для любого числамостов, которые как угодно соединяют берега и любое число островов! И теперьдаже житель Санкт-Петербурга может определить, удастся ли ему прогуляться потрёмстам мостам своего города, соединяющим сорок два острова, причёмпрогуляться так, чтобы пройти по каждому мосту только один раз.

Мы не случайно вспомнили о Санкт-Петербурге: в этом городе Эйлер провёлбольшую часть жизни, здесь же написал он и свою знаменитую работуо кёнигсбергских мостах. Работы Эйлера рождали порой новые областиматематики. Так произошло и с работой о кёнигсбергских мостах: с неё берётначало топология — раздел математики, в котором изучаются самыеобщие свойства геометрических тел и фигур.

Что это за свойства? Представим себе, что у нас в руках кусокпластилина, и нам разрешается делать с ним, что угодно, но только неразрывать и не слеплять.

Пусть, например, кусок пластилина имеет сначала форму стакана. Мы можемпревратить «стакан» в «ложку», нигде не разрываяи не слепляя пластилин:

А вот превратить пластилиновый стакан в чашку с ручкой не удастся: ведь дляручки надо сделать дырку, то есть разорвать пластилин в каком-томесте, а мы условились, что разрывать и слеплять нельзя! Зато пластилиновуючашку можно превратить в бублик: