Алиса в стране математики - Страница 40

— Никому до сих пор не отрубили, — отозвался Грифон. — Всеприговоры Король отменяет, или Королева просто забывает о них.

— Почему же тогда Королеву так боятся? — спросила Алиса.

— Ты же сама видела — она полна противоречий! — ответилГрифон. — А вдруг она не забудет о каком-нибудь приговоре?

— С лжецом и то лучше иметь дело, — сказала Алиса.

— Конечно, — согласился Грифон. — Надо только понимать всё,что он говорит, наоборот! А с тем, кто противоречит сам себе, никогда несвязывайся!

— А как же Мартовский Заяц? — вспомнила Алиса. — Разве он непротиворечил сам себе, когда говорил на суде, что всегда обманывает?

— Да он просто дурачком прикидывался! — рассмеялся Грифон. —Шляпника выдавать не хотел.

— А Белый Кролик, наоборот, доносчик! — сердито сказала Алиса.

— У него работа такая, — вздохнул Грифон.

— Доносить? — поразилась Алиса.

— Белый Кролик обязан следить за выполнением королевских законов, —объяснил Грифон. — Даже тех, выполнить которые невозможно...

— Я бы ни за что не согласилась на такую работу! — сказала Алиса.

— Я тоже, — отозвался Грифон. — Ну, до встречи на балу! —крикнул он и пустился скачками вдоль берега озера.

— А мне куда идти? — вдогонку ему крикнула Алиса.

— За мной! — обернувшись, ответил Грифон и умчался.

КАК ЧЕЛОВЕК УЧИЛСЯ РАССУЖДАТЬ

Человек начал думать с тех пор, как он стал человеком (по-латыни он таки называется — homo sapiens, то есть «человек разумный»).Однако десятки тысяч лет человек думал, совершенно не задумываясь о том,как он думает. И делал из-за этого много ошибок.

Первыми задались вопросом «что такое рассуждение?» древниегреки. Они сделали величайшее открытие: рассуждение — это способполучения новых знаний.

Помните прославленный «дедуктивный метод» Шерлока Холмса?

— Я могу распутать преступление, даже не выходя из своей комнаты, —говаривал знаменитый сыщик удивлённому доктору Ватсону и погружалсяв глубокое раздумье.

Это раздумье и есть способ получения новых знаний! Такие знания называются«умозаключения», то есть заключения (выводы), полученныес помощью ума (рассуждения)

Получать новые знания с помощью рассуждений можно не только распутываяпреступления — мы занимаемся этим, решая любую задачу, когда ответ еёнам неизвестен: ведь этот ответ и есть новое для нас знание!

Бо́льшая часть знаний, которыми обладает человечество, получены с помощьюумозаключений — ведь и то, что люди узнали опытным путем, они тожедолжны были осмыслить

Но откуда берётся уверенность, что рассуждение правильно? Всегда лиможно доверять новому знанию, полученному посредством умозаключений?

Размышляя над этими вопросами, древнегреческий учёный Аристотель открылзаконы мышления — правила, пользуясь которыми можно делатьправильные умозаключения. Наука о законах мышления называется логикойот греческого слова «логос», что означает «мысль».Логикой Аристотеля мы пользуемся до сих пор.

Науку о мышлении Аристотель создавал не на пустом месте — у негобыли великие предшественники. С некоторыми из них мы уже знакомы. Так,Фалес, первый математик в истории, высказал идею доказательства,а доказательство — это как раз и есть установление правильностирассуждения. Строгих доказательств от своих учеников требовал и учительАристотеля Платон, который, в свою очередь, был учеником Сократа. Сократучил рассуждать не только в математике, но и в жизни, причем учил оченьинтересным методом: он задавал вопросы, которые будили мысль у егособеседника — этот замечательный метод так и называется«сократовским». Сам Сократ был настолько мудр, что училсяу каждого, кто мог сообщить ему что-то для него новое.

Особенность математики состоит в том, что правильность новых знанийможно установить только с помощью рассуждений — их невозможнопроверить на опыте!

Объясним это на примере. Возьмём линейку, начертим на бумаге несколькоразных треугольников и вырежем их. А затем обрежем у них углы — воттак:

Приложим теперь эти углы друг к другу. Мы обнаружим, что у всех нашихтреугольников сумма углов одна и та же — она равна как разразвёрнутому углу:

Мы получили новое знание: «у некоторых треугольников суммауглов равна развернутому углу». Это знание получено опытнымпутём. Но поскольку мы брали разные треугольники, у нас возникаетдогадка: может быть, у всех треугольников сумма углов равнаразвёрнутому углу?

Мы испытываем нашу догадку на десяти, ста, тысяче треугольникахи с радостью обнаруживаем, что она подтверждается! Однако можно ли считать,что мы её доказали? Нет, нельзя — ведь в нашей догадке речь идёто всех треугольниках, а их бесконечно много! Там же, гдепоявляется бесконечность, опыт бессилен (это слова французского математикаПуанкаре).

Поэтому здесь требуется математическое доказательство: можнодоказать, что сумма углов у всех треугольников равна развёрнутому углу,если... Вот это «если» и есть самое главное!

На что должно опираться математическое доказательство? Прежде всего,