Алиса в стране математики - Страница 41

конечно, на уже доказанные утверждения (как мы помним, они называются«теоремами»). Но, оказывается, при этом возникает новаябесконечность, очень похожая на бесконечную цепочку вопросов«почему?» в беседе с четырёхлетним homo sapiens: выотвечаете малышу на первый вопрос, но ваш ответ сразу же рождает у неговторое «почему?», и ... новый ответ будет рождать новый вопросбез конца!

Учёные по своей любознательности почти не уступают четырёхлетним малышам, и поэтому они тоже столкнулись с бесконечной цепочкой вопросов и ответов — было это ещё в Древней Греции. И тогда стало ясно, что для того, чтобы можно было что-то доказать, какие-то утверждения придётся принять без доказательств, например: «через две точки проходит одна и только одна прямая». Такие утверждения греки назвали аксиомами, что в переводе с греческого означает «достойные почестей».

Главное требование к аксиомам состоит в том, чтобы они не противоречили друг другу (иначе получится так, как с «королевскими законами», которые придумывала Королева Червей). Непротиворечивость аксиом далеко не всегда очевидна: даже очень «правдоподобные» аксиомы могут противоречить друг другу! Вот известный шуточный пример. Возьмём три «аксиомы»:

1. Чем больше учишь, тем больше знаешь.

2. Чем больше знаешь, тем больше забываешь.

3. Чем больше забываешь, тем меньше знаешь.

Каждая из этих «аксиом» по отдельности не вызываетсомнений. Однако из трёх «аксиом» вместе следует вывод:«Чем больше учишь, тем меньше знаешь»! С этим странным выводомможно было бы и согласиться, но он противоречит первой«аксиоме»! А из второй и третьей «аксиом» следуетвывод, который вообще противоречит сам себе: «Чем больше знаешь, темменьше знаешь»! Так что волей-неволей приходится признать, что этиправдоподобные «аксиомы» противоречат друг другу.

Но даже непротиворечивых аксиом для доказательств теорем недостаточно. Надоещё, чтобы тот, кто доказывает, и тот, кто его слушает, правильно понималидруг друга — ведь недоразумение может возникнуть просто из-за того, чтоони по-разному понимают значение одного и того же слова (помните спорШляпника с Королевой о том, что такое «шляпа»?). Чтобы такихнедоразумений не возникало, математики пользуются определениями. Еслитеорема отвечает на вопрос «почему?», то определение отвечает навопрос «что такое?». Например:

— Что такое квадрат?

— Это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Однако тут сразу же возникает новый вопрос:

— А что такое прямоугольник?

И уже можно догадаться, что нас снова подстерегает бесконечность, толькона этот раз не вопросов «почему?», а вопросов «чтотакое?». Поэтому некоторые понятия математикам пришлось принять заосновные, то есть отказаться от попыток определить их. Например,основными понятиями являются «точка» и «прямая».

Когда есть основные понятия, аксиомы и правила логики, можно, наконец,доказывать теоремы! Теоремы — это и есть новые знания математиков:доказательством теорем математики занимаются со времён Фалеса до наших дней.

Через две тысячи лет после Аристотеля немецкий учёный Лейбниц задалсяцелью создать универсальный язык науки, с помощью которого можно было бызаписывать любые рассуждения в виде математических формул.

И тогда, надеялся Лейбниц, учёные перестанут, наконец, спорить дохрипоты — вместо этого они возьмут в руки карандаши и спокойно скажутдруг другу: «Давайте вычислим истину». Лейбниц даже думало машине, которая сама сможет доказывать теоремы!

Однако только через сто пятьдесят лет после того, как Лейбниц высказалсвою идею, ирландский математик Буль создал тот язык, о котором мечталЛейбниц. Буль построил «алгебру логики», в которой естьуравнения, похожие на уравнения «обычной» алгебры, только прирешении логического уравнения ищется ответ не на вопрос«сколько?», а на вопрос «истинно или ложно?».И сегодня, пользуясь «алгеброй логики» (чаще её называют«булевой алгеброй»), электронно-вычислительные машины действительноначали доказывать теоремы! Правда, пока ещё с помощью математиков...

Уже в самом начале развития логики выяснилось, что кроме истины и лжибывает еще и «чушь» — высказывания, которые вообщелишены смысла (например, потому, что они противоречат самим себе). Ноиногда противоречие запрятано так глубоко, что его ищут многие годы. Однимиз первые таких примеров был знаменитый «парадокс лжеца»: есликто-то говорит «я лгу», то его слова лишены смысла (помните«показания» Мартовского Зайца?). Очень интересный парадокс былпредложен английским учёным Расселом в начале XX века: должен ли бритьсамого себя цирюльник, которому приказано брить тех и только тех, кто небреется сам? (Помните похожий королевский закон о Шляпнике?).

Парадоксы всегда привлекали учёных, потому что разбор парадоксовпозволяет лучше понять законы мышления и учит избегать ошибок. А кроме того,парадоксы неожиданны и интересны, и этого уже достаточно для того, чтобыс ними стоило познакомиться!

Кстати, «парадокс стоящих часов», которые показывают точноевремя чаще, чем идущие, принадлежит самому Льюису Кэрроллу, а точнее —Чарльзу Лютвиджу Доджсону, который занимался как раз математической логикой.

НЕБЫЛИЦАО ТОМ, КАК ЛЕЙБНИЦ И БУЛЬИЗОБРЕЛИ ЯЗЫК МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ

Однажды заспорили Лейбниц и Буль —