Алиса в стране математики - Страница 20

И тут же всё кругом начало уменьшаться: растения с длинными листьямипревратились в обычную траву, деревья с необычными кронами сталиодуванчиками и ромашками, а лесная дорога оказалась тропинкой, идущей черезполе!

Впереди Алисы семенили, неся торт, восемь маленьких пешек. Торт,конечно, остался шоколадным, но, увы — он перестал быть огромным!Подходя к дому, Алиса даже засомневалась: прилично ли с таким тортомприходить к чаю без приглашения? И тут она услышала грохот бьющейся посуды.

— Стоит ли вообще туда идти? — подумала Алиса, но было ужепоздно: пешки-поварята входили в ворота, и Алиса поняла, что её ждут новыеприключения.

ОБ ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЛАХ И ВСЕОБЩЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Каких только обидных названий не давали отрицательным числам — ихназывали и нелепыми, и ложными, и придуманными... Просто удивительно, чтопосле всего этого отрицательные числа продолжают верно служить людям!

Впервые отрицательные числа появились в Китае около двух тысяч летназад — тогда ими пользовались для обозначения долгов (помните«минус один торт»?). Ту же роль отрицательные числа игралив Индии начиная с V —VI веков, а позднее — в средневековой Европе.Но учёные таких чисел не признавали: они считали, что «меньше чемничто» ничего быть не может!

Однако отрицательные числа «перехитрили» математиков: онивыросли внутри самой математики! Вот как это произошло.

С давних пор математики решали уравнения. Уравнение — эторавенство, в которое входит неизвестная величина (такой величиной можетбыть, например, площадь поля, возраст человека или число рабов). Решитьуравнение — значит узнать, какому числу равна эта неизвестная величина.И вот, когда это число находили, оказывалось иногда, что оно должно бытьменьше нуля! Такие решения уравнений считали «ложными»,«нелепыми» и отбрасывали их — действительно, разве может,например, площадь поля быть меньше нуля?

Это два уравнения, в которых неизвестное обозначено буквой x.У одного из этих уравнений решение положительное, а у другого —отрицательное

Однако скоро обнаружилось, что даже для того, чтобы получатьположительные, вполне «законные» решения, приходится поройпользоваться отрицательными числами в промежуточных вычислениях, какбы на черновике. И эти «нелепые» числа надёжно приводилик правильным результатам, но... при одном удивительном условии: произведениедвух отрицательных чисел надо было считать числомположительным! Это казалось настолько странным, что один учёныйназвал отрицательные числа «порождением дьявола», а другойзаявил, что понять правило умножения отрицательных чисел выше человеческогоразумения! В течение нескольких веков математики, скрепя сердце,пользовались отрицательными числами, но признавать их настоящими числамиотказывались наотрез.

Признание отрицательных чисел пришло с неожиданной стороны.

В XVII веке жил французский учёный Декарт (во Франции ему, к сожалению,довелось жить очень мало, а книги его во Франции были запрещены). В тевремена математика состояла как бы из нескольких отдельных наук:арифметики, которая изучала свойства чисел, алгебры —науки о решении уравнений, и геометрии, где изучались свойства фигур.Кроме того, следуя древним, к математике относили ещё астрономию и музыку!

И вот Декарт задался дерзкой целью: создать науку, которая объединит всюматематику. «К области математики, — писал Декарт, —относятся те науки, в которых рассматриваются либо порядок, либо мера, и неимеет значения — будут ли это числа, фигуры, звёзды, звуки иличто-нибудь другое... Должна существовать общая наука, объясняющая всё, чтоотносится к порядку и мере... и эта наука должна называться всеобщейматематикой».

Основная идея Декарта была гениально проста. Он взял прямую, обозначилна ней точку и написал рядом с ней число «нуль». Затем он взялотрезок определенной длины и стал откладывать этот отрезок, как«единичную меру», вдоль прямой вправо от точки, обозначеннойнулём. При этом на прямой появлялись точки, соответствующие числам 1, 2,3... — эти числа показывали, сколько раз отложен«единичный отрезок» (помните число королевских шагов?). Теперькаждому натуральному числу соответствовала точка на прямой;это был решающий шаг — он связал числа и точки, то есть арифметикуи геометрию!

Если на прямой отметить на равных расстоянияхдруг от друга точки 0, 1, 2, 3 и так далее, тоэта прямая превратится в числовую ось

Сделав этот шаг, Декарт догадался, что любую точку на прямой можносопоставить с числом, и при этом точкам, расположенным на прямой левеенуля, соответствуют как раз отрицательные числа (помните числалевее нуля вдоль дороги для королевских прогулок?). Так, благодаря Декарту,отрицательные числа обрели равноправие с положительными числами и навсегдапотеряли свою «нелепость».

Числовая ось неограниченно продолжается в обе стороны: слевана ней расположены отрицательные числа, а справа —положительные

Точку на прямой можно задать одним числом, а для точки наплоскости нужно два числа (помните башенки с двумя числами наперекрёстках двух аллей в Китайском Саду?). Благодаря этому линии наплоскости оказалось возможным связать с уравнениями — так