Алиса в стране математики - Страница 26

— Так записываются дробные числа! — догадалась Алиса. —Но ведь вы же никогда не допишете эту сумму до конца! — воскликнулаона. — У этой суммы нет конца, потому что делить пополам можнобез конца!

— А как же тогда Соня съел торт до конца? — недоверчиво спросилЗаяц.

— Соня съедал каждую следующую часть вдвое быстрее, — подумав,сказала Алиса, — потому что каждая следующая часть вдвое меньше, чемпредыдущая!

— А я, наоборот, на каждое новое слагаемое трачу всё больше и большевремени, — вздохнул Заяц, утирая лапкой пот со лба. — Ведьв числителе каждой дроби единица, а знаменатели становятся всё большеи больше...

— Поразительно! — воскликнул Шляпник, тоже подойдя к Зайцу. —Чем меньше число, тем дольше приходится его писать — я быникогда в это не поверил!

И тут Алису осенило.

— Дальше можно не писать! — воскликнула она. — Я знаю, чемуравна вся эта сумма!

— Ты хочешь сказать, что сложила в уме бесконечно многослагаемых? — удивился Шляпник. — Выписать их нельзя, а сложитьв уме можно?!

— Бесконечно много слагаемых только в уме и можно сложить, —ответила Алиса. — Ни на какой бумаге они просто не поместятся. И дажена скатерти, — добавила она, посмотрев на Зайца.

— И чему же, по-твоему, равна эта сумма? — поинтересовался Шляпник.

— Единице, — сказала Алиса. — Она равна в точностиединице, потому что Соня съел как раз один торт!

— Но торт был довольно большой, — заметил Заяц.

— Величина торта не имеет значения, — сказала Алиса.

— Теперь, конечно, не имеет, — огорченно вздохнул Заяц. —Ведь торт уже съеден...

— И совсем не поэтому! — начала сердиться Алиса. — Вы же самиприняли весь торт за единицу, когда выписывали эту сумму! Вот,например, одна восьмая — это же одна восьмая всего торта, правильно?

— Правильно! — подтвердил Заяц. — Я писал правильно, даже непонимая, что пишу! — с радостным удивлением повернулся онк Шляпнику.

— Это действительно странно, — отозвался Шляпник. — Ведьобычно ты не понимаешь того, что говоришь.

Заяц аккуратно обмакнул ложечку в варенье и стал писать новые слагаемые:он решил продолжать правильное дело, даже если у него нет конца.

— И всё-таки я не понимаю, как сумма бесконечного числа слагаемыхможет быть равна единице! — немного помолчав, сказал Шляпник.

— Мне кажется, дело в том, что новые слагаемые становятся всё меньшеи меньше, и поэтому с каждым новым слагаемым сумма увеличивается всёмедленнее и медленнее... — начала рассуждать вслух Алиса.

— Но увеличивается! — перебил её Шляпник. — С каждымновым слагаемым сумма всё-таки увеличивается! Как же она может неперерасти в конце концов какую-то несчастную единицу?

Это действительно казалось странным, и Алиса задумалась. Она вытащила изкармана карандаш — тот самый, который дал ей Чеширский Котв межзвёздном пространстве, и нарисовала на скатерти отрезок:

— Представьте себе, что это весь торт, который мы приняли заединицу, — сказала Алиса.

Шляпник нагнулся к столу и внимательно посмотрел на линию, нарисованнуюна скатерти.

— Представил, — сказал он, наконец.

— А теперь разделим отрезок пополам, — предложила Алисаи поставила точку посредине отрезка:

— Если весь отрезок — единица, то его половина — однавторая, — сказала Алиса и написала эту дробь под левой половинойотрезка:

— Теперь правую половину снова разделим пополам, — продолжила Алисаи поставила ещё одну точку:

— Каждая из новых частей будет равна одной четвертой, — заметилШляпник.

— Конечно, — кивнула Алиса и написала ещё одну дробь:

— Самую правую четверть можно опять разделить пополам! — воскликнулШляпник. — Кажется, я начинаю понимать, к чему ты ведешь... — Онвзял у Алисы карандаш, отметил на отрезке ещё одну точку и написал ещё однудробь:

— Самый правый кусок можно делить пополам снова и снова! —возбужденно продолжал Шляпник, ставя все новые и новые точки и подписываяпод ними дроби — каждую новую дробь в два раза меньшепредыдущей. — Получаются одна шестнадцатая, одна тридцать вторая, однашестьдесят четвёртая... как раз те слагаемые, которые написал Заяц! И этихслагаемых будет бесконечно много!

— Но сумма всех этих слагаемых равна в точностиединице! — воскликнула Алиса, показывая на рисунок. — Ведьэто как раз длина всего отрезка!

— Ты права! — восхищенно произнёс Шляпник, разглядываярисунок. — Теперь это даже видно!

Алиса была очень довольна: она сама не ожидала, что её доказательствоокажется таким наглядным! А присмотревшись к рисунку, она заметила и кое-чтоещё!

— Смотрите, — сказала она, — каждая следующая точка правеепредыдущей, но все они левее конца отрезка! А последней точкиперед концом вообще нет! Так же, как и нет последнего момента перед шестью