Алиса в стране математики - Страница 28

Вот как Зенон доказывал, что движение вообще невозможно. Прежде чем дойти доконца пути, говорил Зенон, надо дойти до половины пути. Однако преждечем достигнуть половины пути, надо сначала пройти половину этой половины, тоесть четверть пути, и так далее. А поскольку делить пополам можно безконца, то получается, что невозможно даже стронуться с места! Так же Зенондоказывал, что если кому-то все-таки удалось сойти с места, то дойти доконца пути ему никогда не удастся: ведь ему придётся пройти сначала половинувсего пути, потом половину оставшейся половины и так далее... (помнитерассуждения Алисы о том, что Соня не смог бы съесть весь торт?)

О Зеноне писал даже далёкий от математики Пушкин:

Движенья нет, сказал мудрец брадатый.
Другой смолчал и стал пред ним ходить.
Сильнее бы не мог он возразить;
Хвалили все ответ замысловатый.

«Брадатый мудрец» — это и есть Зенон, а тот, которыйсмолчал и стал ходить — известный философ Диоген (тоже, кстати,странный человек: он жил в бочке, считая, что лучшего жилья философу и ненадо, и ходил днём с фонарём, приговаривая: «Я ищу человека»).

Зенон, конечно, видел, что движение есть, но дело в том, чтодревнегреческие учёные не умели описывать движение! Ведь движениенепрерывно: за очень малые промежутки времени движущееся телопроходит очень малые расстояния, причём промежутки времени и расстоянияможно делить на всё меньшие и меньшие части. Но как раз безграничнойделимости древние греки и не признавали! Они считали, что при этомразрушается понятие числа — главное понятие всей греческойматематики.

Представьте себе, какая огромная разница между целыми числамии дробными: у любого целого числа есть два ближайших«целых» соседа (целое число, которое на единицу меньше, и целоечисло, которое на единицу больше), а между любыми дробными числами находитсябесконечно много других дробных чисел — ни у одного дробного числаближайших «дробных» соседей нет! (Не напоминает ли этовам отсутствие последнего момента перед шестью часами?)

А благодаря открытию Пифагора, о котором мы недавно рассказывали,обнаружилось, что существуют числа, которые невозможно записать дажев виде дроби! Действительно, какой дробью можно представить длинудиагонали квадрата со стороной единица, если у диагонали нет никакойобщей меры со стороной? Когда сам Пифагор осознал значение своего открытия,он даже испугался (хотя был олимпийским чемпионом по кулачному бою!)и потребовал от своих учеников, чтобы они ни в коем случае не разглашали этооткрытие. Один ученик ослушался, и, согласно легенде, боги покарали его заэто: он погиб во время кораблекрушения.

Страх перед безграничной делимостью длился почти два тысячелетия, и первыеподходы к описанию непрерывного движения предприняли только Галилей и Декартв XVII веке. (Мы уже писали о том, как Галилей открыл закон свободногопадения тел). Становилось ясно, что для описания движения нужна совершенноновая математика, в которой возможность безграничной делимости принята заоснову.

Создали такую математику в конце XVII века независимо друг от друга двоеучёных — англичанин Ньютон и немец Лейбниц (хотя друзьями-то оникак раз и не были!). Называется она «дифференциальноеи интегральное исчисление». Справедливость требует сказать ещё,что «почву» для великого немца и великого англичанинаподготовили два великих француза — Ферма и Паскаль; в своих работах ониподошли вплотную к открытию дифференциального и интегрального исчисления.

НЕБЫЛИЦАО ТОМ, КАК НЬЮТОН РАЗГАДАЛ ЗАГАДКУ ДВИЖЕНИЯ

Планеты, вороны, телеги, кометы,
Коты, водопады, слоны и моржи,
Пловцы, бегуны, тараканы, кареты,
Медведицы, реки, ужи и ежи —

Однажды все замерли, полные грусти,
Пытаясь загадку движенья понять.
Кто всю карусель эту снова запустит?
Кто миру движенье подарит опять?

И тут проходил мимо Ньютон случайно,
Увидел, что мир почему-то застыл,
Немного подумал, и как бы нечаянно
Загадку движения он разрешил.

Планеты, вороны, телеги, кометы,
Коты, водопады, слоны и моржи,
Пловцы, бегуны, тараканы, кареты,
Медведицы, реки, ужи и ежи —

Все снова помчались, пошли, побежали,
Кто влево, кто вправо, кто вверх, кто вперёд!
Вороны кричали, колёса визжали,
А Ньютона сразу толкнул пешеход.

КТО КОГО ВИДИТ В ЗЕРКАЛЕ?

Через четверть часа тропинка привела Алису к опушке леса, но прежде чемвойти в лес, Алиса остановилась.

— А вдруг там водятся дикие звери? — спросила она себя.

Ответа не последовало, и Алиса задала новый вопрос:

— Может, лучше вернуться?

— Нет, — сразу же ответила себе Алиса. — Во-первых, идтивперёд интересней, чем назад, а во-вторых, как же я узнаю, кто такие Ха-Хаи Ах-Ах!

И Алиса вступила в лес. Она шла и прислушивалась: не слышно ли рычаниядиких зверей? И вдруг её настороженное ухо уловило звуки человеческогоголоса. Или это были два голоса?

Тут лес расступился, и Алиса вышла на большую поляну. Посреди поляны двамаленьких толстеньких человечка о чём-то спорили, широко размахивая руками.Человечки были очень похожи и к тому же повторяли движения друг друга.

— Это один человек разговаривает со своим отражениемв зеркале! — догадалась Алиса.

Ей захотелось познакомиться со странным человечком, но он был такой