Алиса в стране математики - Страница 43

К оглавлению

— Почему? — спросила Алиса, совсем сбитая с толку.

— Потому что ты не лягушка, — спокойно ответила Гусеница и сновавнимательно посмотрела на Алису.

Бедная Алиса даже не могла придумать, как продолжить этот разговор!

— Ещё ты не входишь в множество тех, кто знает всё! — посленедолгого молчания глубокомысленно изрекла Гусеница.

— Но разве кто-нибудь знает всё? — удивилась Алиса.

— Никто! — коротко ответила Гусеница.

— Значит, множества тех, кто знает всё, просто не существует, —сказала Алиса.

— Оно существует, — возразила Гусеница и, помолчав,добавила: — Но это множество пустое.

— Что это значит? — не поняла Алиса.

— Это значит, что в нём нет ни одного элемента, — ответилаГусеница.

— Зачем же нужно такое множество, в котором ничего нет? — удивиласьАлиса.

— Без него нельзя было бы, например, умножать одни множества надругие, — спокойно произнесла Гусеница.

— Умножать множества? — воскликнула Алиса. — Но разве эточисла?

— Множества не числа, — отозвалась Гусеница. — Поэтомуи умножают их иначе. Мы с тобой, кстати, с этого начали!

— Я этого не заметила, — призналась Алиса.

— Ты сказала, что ты девочка, которую зовут Алисой, — напомнилаГусеница. — Так вот: если умножить множество всех девочек на множествовсех Алис, то получится множество всех девочек, которых зовут Алисами...

— Я поняла! — воскликнула Алиса. — А если умножить множествовсех кошек на множество всех жителей Оксфорда, то получится множество всехкошек, которые живут в Оксфорде, правильно?

— Мне никогда не приходилось бывать в Оксфорде, и я никогда не виделакошек, — сказала Гусеница, — но всё равно я могу подтвердить, чтоты права!

— По одной из этих кошек я уже, кажется, соскучилась, — призналасьАлиса.

— А что едят кошки? — поинтересовалась Гусеница.

— Гусениц они не трогают, — успокоила её Алиса. — Но я таки не поняла, зачем для умножения множеств нужно пустое множество?

— Попробуй умножить множество всех тигров на множество всехлягушек, — предложила Гусеница..

— Получится... получится множество всех тигров, которые являютсялягушками... Но ведь таких нет! — воскликнула Алиса.

— Это и значит, что множество тигров-лягушек — пустоемножество, — с довольным видом сказала Гусеница.

— Пустое множество похоже на нуль, — заметила Алиса. — Ведьнуль — это тоже ничто!

— Похоже, — согласилась Гусеница. — Но всё-таки пустоемножество — это не нуль.

— Чем же отличается пустое множество от нуля? — заинтересоваласьАлиса.

— Скажи — когда при умножении двух чисел получается нуль? —спросила Гусеница.

— Когда хотя бы одно из этих двух чисел равно нулю! — подумав,ответила Алиса.

— Правильно, — подтвердила Гусеница. — А вот для множеств этоне так: можно перемножить два непустых множества и получитьпустое множество!

— Конечно, — тут же согласилась Алиса. — Например, нашитигры-лягушки!

— Множества можно не только умножать, — сказала гусеница. — Ихможно ещё складывать и вычитать.

— А как это делается? — спросила Алиса. — Нет, я лучшепопробую сама! Если множество всех девочек сложить с множеством всехмальчиков, то получится множество всех детей, правильно?

— Я никогда не видела мальчиков, — произнесла Гусеница, — и незнаю, что такое дети. Но если дети состоят только из мальчиков и девочек, тоты права.

— Кажется, я догадываюсь, и как вычитать множества, — сказалаАлиса. — Если из множества всех детей вычесть множество всех мальчиков,получится множество всех девочек, правильно?

— Правильно, — подтвердила Гусеница. — А теперь попробуйнаоборот: вычти из множества всех девочек множество всех детей — чтополучится?

— Получится... — задумалась Алиса, — получится пустоемножество — ведь нет таких девочек, которые не были бы детьми!

— Как видишь, пустое множество нужно не только для умножения множеств,но и для вычитания, — сказала Гусеница.

— Я вижу, что вычитаются множества тоже не так, как числа, —заметила Алиса. — Для чисел нуль получается только тогда, когда мывычитаем из числа такое же число!

— Складываются множества тоже не так, как числа, — сказалаГусеница. — Если, например, к числу пять прибавить какое-то число,может получиться снова пять?

— Конечно, нет! — ответила Алиса.

— А если мы прибавим нуль? — прищурившись, спросила Гусеницаи выпустила ровно пять клубов дыма.

— Про нуль я забыла, — призналась Алиса. — Но ведьи с множествами так же: если к любому множеству прибавить пустое множество,получится снова то же самое множество!

— Конечно, — согласилась Гусеница. — А как ты думаешь, чтополучится, если к множеству всех насекомых прибавить множество всех гусениц?

— Получится... получится снова множество всех насекомых! —воскликнула Алиса. — Ведь все гусеницы — насекомые!

— Но разве множество всех гусениц — пустое? — спросилаГусеница. — Ты же сама видишь, что хотя бы одна гусеницасуществует!

— Я поняла, — сказала Алиса. — К множеству можно прибавитьнепустое множество, но получить то же самое множество! Значит, множествадействительно складываются не так, как числа...

Беседа становилась всё более интересной, но тут Алиса вспомнила, что онаможет опоздать на бал.

— Извините, — вежливо сказала она, — но я спешу на бал. А выхотите попасть на бал? Я могу вас пригласить.

— Что мне там делать? — отозвалась Гусеница. — Ведь я непринадлежу множеству тех, кто умеет танцевать!

Сказав это, она сползла с гриба и тут же скрылась в траве.