Алиса в стране математики - Страница 45

слишком много: на двадцать больше, чем было всех пиратов!

— Это как раз и значит, что двадцать пиратов потеряли обаглаза, — сказал Кот. — Ведь когда ты складывала, то таких пиратовты посчитала дважды!

— Ну конечно! — воскликнула Алиса. — Как раз эти пиратыи входят в оба множества! Но я никогда бы не подумала, что приумножении множеств складываются числа...

— Не только складываются, но и вычитаются, — добавилКот. — Жаль, что Герцогиня ошиблась!

— А почему вы решили, что она ошиблась? — спросила Алиса. —Может, она просто хотела, чтобы история получилась пострашнее?

— В этом и была её ошибка, — сказал Кот. — И теперь из-за этойошибки она может не попасть на бал!

Алиса оглянулась, но домик уже скрылся из виду. А посмотрев сновавперёд, Алиса увидела море!

— Странно, — подумала она. — Какой же бал может быть на море?

О МНОЖЕСТВЕ МНОЖЕСТВ

Невозможно даже представить себе, как мы могли бы жить в мире, где всёбыло бы совершенно непохожим одно на другое! Например, на небе сияли бысовершенно разные звёзды, настолько разные, что их нельзя было бы даженазвать одним словом «звёзды»...

Но, к счастью, в том мире, где мы живём, многие предметы чем-то похожидруг на друга, то есть имеют что-то общее. А когда мы замечаем, чтопредметы имеют что-то общее, мы — вольно или невольно — объединяемих в одно множество. Только благодаря этому мы можем говорить —ведь любое слово обозначает множество сходных предметов. Например,когда мы говорим «человек», мы имеем в виду одного из множествавсех людей, когда говорим «зелёный» — предмет из множествавсех зелёных предметов. Можно говорить о множестве дней недели и о множествецветов радуги, множестве книг и о множестве друзей — множества окружаютнас со всех сторон!

Немецкий математик Кантор, основатель теории множеств, писал:«Множество — это многое, мыслимое нами как единое»

Кантор жил в XIX веке, однако множествами учёные пользовались оченьдавно — с тех пор, как начали классифицировать предметы, то естьискать в них общее и различное. (Любая наука начинается именнос классификации!).

Один аргентинский писатель привёл замечательный пример, как не надоклассифицировать. Он придумал «некую китайскую энциклопедию»,в которой написано, что животные подразделяются на:

а) принадлежащих императору

б) бальзамированных

в) приручённых

г) молочных поросят

д) сирен

е) сказочных

ж) бродячих собак

з) включённых в настоящую классификацию

и) буйствующих, как в безумии

к) неисчислимых

л) нарисованных очень тонкой кисточкой из верблюжьей шерсти

м) прочих

н) только что разбивших кувшин

о) издалека похожих на мух

Эта удивительная «классификация» предоставляет нам прекраснуювозможность порассуждать о множествах.

Прежде всего заметим, что каждая строка определяет какое-то множествоживотных — пусть странное, но множество!

Некоторые из этих множеств не имеют общих элементов — например,множество молочных поросят и множество бродячих собак. А другие множества,наоборот, имеют общие элементы — скажем, множество бродячих собаки множество животных, буйствующих, как в безумии: ведь среди бродячих собакесть и бешеные. Если два множества не имеют общих элементов, говорят, чтоэти множества не пересекаются, а если общие элементы есть, тоговорят, что множества пересекаются. Слово «пересечение»связано с геометрическими фигурами — если две фигуры пересекаются,у них есть общие точки (хотя бы одна!).

Например, эти две прямые пересекаются в одной точке:

А эти два круга имеют бесконечно много общих точек:

Если же две фигуры не пересекаются, у них нет ни одной общей точки. Таковы,например, параллельные прямые:

или эти два квадрата:

Множество общих элементов двух множеств называется пересечением этихмножеств. Например, пересечение множеств всех девочек и множеств всехАлис — это девочки, которых зовут Алисами. Вы уже догадались, конечно,что пересечение множеств и произведение множеств, о которомбеседовали Алиса и Гусеница — это одно и то же!

Сумма множеств тоже имеет второе название —«объединение множеств». Например, объединением множествприручённых животных и сказочных животных будет множество, состоящее изживотных, каждое из которых приручённое или сказочное (при этом оно можетбыть и приручённым и сказочным одновременно!). К такому множествупринадлежат, скажем, дрессированные собачки (приручённые животные), БелыйКролик с часами в жилетном кармане (сказочное животное), а такжедрессированные драконы (приручённые и сказочные одновременно). А вот,например, динозавры, действительно жившие на Земле миллионы лет назад,к такому множеству не принадлежат (во-первых, приручить их тогда ещё былонекому, а, во-вторых, хотя они и были похожи на драконов, они всё-таки былине сказочными, а настоящими!).

Множество можно задавать не только указанием общего свойства всех предметов,