Алиса в стране математики - Страница 46

входящих в это множество (как мы это делали до сих пор). Есть и другойспособ: просто перечислить все элементы множества (помните множество,состоящее из Алисы и Гусеницы?).

Для того, чтобы легче было разбираться в том, как связаны различныемножества, то есть каковы их объединение и пересечение, математик Эйлер (о нём мы уже писали) предложил обозначать множества кругами — эти кругиназываются обычно «кругами Эйлера». Например, для «слишкомстрашной истории», которую Герцогиня рассказывала Младенцу, кругиЭйлера выглядят так:

Горизонтальными линиями здесь заштриховано «множество пиратов,потерявших левый глаз», вертикальными — «множество пиратов,потерявших правый глаз», а двойная штриховка обозначает пересечениеэтих множеств, то есть «множество пиратов, потерявших обаглаза».

Раз для множеств можно определить сложение и умножение (пусть дажеи с несколько необычными свойствами), значит, можно построитьи «алгебру множеств». Эта алгебра действительно была построена,и оказалось, что она в точности совпадает с той «алгебройлогики», которую построил Буль (с ним мы тоже уже знакомы)!

Совпадение это, конечно, не случайно: дело в том, что логика имеет делос высказываниями, а каждое высказывание — это утверждениео каких-то множествах. Возьмём, например, такое высказывание:«Миша хочет шоколадку или заводную машину!». Здесь речь идёто предмете, который принадлежит сумме множеств«шоколадки» и «заводные машины». Предположим,выбрана заводная машина.

— Какую машину Миша хочет?

— Красную и большую!

Тут уже говорится о произведении двух множеств: «красныхзаводных машин» и «больших заводных машин»!

Пока учёные ограничивались конечными множествами, то естьмножествами, содержащими конечное число элементов, никаких неожиданностей невозникало: использование множеств позволяло только, как говорил Эйлер,«облегчать рассуждения».

А вот когда стали изучать бесконечные множества, начались чудеса! К ниммы сейчас и перейдём.

НЕБЫЛИЦАО КАНТОРЕ, В КОТОРОЙ ВСЁ — ПРАВДА!

Разные множества есть в этом мире:
Множество тапочек в нашей квартире,
Множество ветров, гуляющих в поле,
Множество тигров, живущих на воле,

Множество фильмов, в которых стреляют,
Множество звёзд, что ночами мерцают,
Множество тех, кто не спит до рассвета,
Множество тех, кто не шлёт нам привета,

Множество тех, кто хотел бы подраться,
Множество тех, кто умеет смеяться.
Множество тех, чей приятель — блондин...
Есть множество множеств,
Но Кантор — один!

ШАХМАТНЫЙ БАЛ

Алиса с Чеширским Котом вышли к берегу моря и остановились перед обрывом.Далеко внизу пенился прибой.

— Как же мы попадём отсюда на бал? — удивлённо спросила Алисаи посмотрела на Кота.

Кот не ответил — он вглядывался вдаль и, казалось, чего-то ждал.

— За нами, наверное, должен прийти корабль, — подумалаАлиса. — А, может быть, бал будет на самом корабле?

Она посмотрела туда, куда смотрел Кот, но не увидела ничего, кроме линиигоризонта.

— Эта линия очень похожа на прямую, — сказала Алиса, показывая налинию горизонта.

— Ты уверена? — отозвался Кот.

— Ничего прямее даже представить невозможно! — воскликнулаАлиса.

— Тогда посмотри кругом, — предложил Кот.

Алиса повела взглядом вдоль линии горизонта и с удивлением обнаружила,что море окружает их со всех сторон — они с Котом стояли теперь наодинокой скале посреди моря!

— Ну что? — широко улыбаясь, спросил Кот. — Ты по-прежнемусчитаешь, что линия горизонта похожа на прямую?

Алиса ещё раз обвела взглядом всю линию горизонта — для этого ейпришлось снова повернуться кругом!

— Нет, — признала она. — Линия горизонта возвращаетсяв ту же точку, а прямая — не возвращается!

— Значит, линия горизонта — не прямая, — заключил Кот и, видяудивление Алисы, добавил: — Это окружность.

— Окружность рисуют циркулем, — вспомнила Алиса (она успелапрочесть об этом в учебнике математики). — Но где же здесь циркуль?

— Циркуль — это твой взгляд, — пояснил Кот. — Все точкиокружности находятся на одном и том же расстоянии от её центра — потомуеё и рисуют циркулем! А все точки линии горизонта находятся на одном и томже расстоянии от нас.

— Действительно, — согласилась Алиса, еще раз поворачиваясь вокругсебя и глядя на линию горизонта. — Скажите, мы ждём, когда за намипридёт корабль?

— Нет, — ответил Кот. — Мы ждём, когда уйдёт линия горизонта.

— Что?! — поразилась Алиса. — Куда же она может уйти?

— В бесконечность, — отозвался Кот. — Наша планета начнётсейчас увеличиваться, а чем больше планета, тем дальше линия горизонта!

— Но зачем планете увеличиваться? — удивилась Алиса. —По-моему, она и так уже достаточно большая — наверное, не меньше Земли!

— Даже если бы она была в миллион раз больше Земли, на ней не смогло быуместиться бесконечное множество танцующих, — ответил Кот. — Дляэтого планета должна стать бесконечно большой!

— Бесконечное множество танцующих? — переспросилаАлиса. — Неужели будет такой большой бал?

— Уверяю тебя, такого бала ты никогда ещё не видела! — воскликнулКот и вдруг показал лапой вдаль: — Смотри!

Алиса внимательно посмотрела на линию горизонта и увидела, что линиядействительно начала удаляться! Она уходила всё дальше и дальше и, наконец,ушла в невообразимую даль.

Сразу же вслед за этим налетели резкие порывы ветра, и всё море