Алиса в стране математики - Страница 49

А теперь, зная всё это, скажите — чего больше: всех натуральныхчисел или только квадратов?

Ответ, казалось бы, не вызывает сомнений: ведь числа-квадраты — этотолько малая часть всех чисел! Однако давайте, следуя Галилею,напишем под каждым натуральным числом его квадрат:

Этот ряд мы можем продолжать сколько угодно: ведь у любогонатурального числа есть квадрат. Но это как раз и означает, что квадратовстолько же, сколько всех натуральных чисел! А значит, частьдействительно равна целому!

Таково поразительное свойство бесконечных множеств, открытое Галилеем. Этимсвойством обладают, конечно, только бесконечные множества! Потому онои кажется нам таким необычным — ведь в жизни мы не встречаемсяи никогда не встретимся с бесконечными множествами.

Бесконечность — это гениальная выдумка математиков, и единственноетребование к этой выдумке состоит в том, чтобы в ней не было«обмана», то есть противоречий. Однако для того, чтобы выполнитьэто требование, приходится отказаться от многого из того, к чему мыпривыкли, имея дело с конечными множествами. И прежде всего — отаксиомы, что часть всегда меньше целого!

Чтобы вам легче было отказываться от «конечных» привычек,приведём ещё один пример. Оставим в ряду натуральных чисел только каждоедесятое число:

10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110, ...

Заметьте, что «девять десятых» всех натуральных чисел мы приэтом отбросили! А теперь сделаем «фокус» — зачеркнёму каждого из оставленных чисел нуль в конце. Что мы получим? Конечно, сновавесь натуральный ряд — он, оказывается, ничуть не уменьшился оттого, что мы оставили только «одну десятую» его часть!

Если хотите, можете оставить всего лишь «одну миллионную»часть натурального ряда, то есть числа:

1 000 000, 2 000 000, 3 000 000, 4 000 000, ...

Зачеркните теперь у всех чисел последние шесть нулей, и... «однамиллионная» часть тут же превратится в «целый» натуральныйряд! Он поистине «возрождается из пепла», как сказочная птицаФеникс. Теперь вам, наверное, стали понятней и те правила грандиозного«шахматного бала», который наблюдали Алиса с Чеширским Котом.

Теорию бесконечных множеств создали в XIX веке чешский математик Больцанои немецкий математик Кантор. Они догадались, что сравнивать бесконечныемножества можно единственным способом: составляя из элементов этих множествпары (помните танцующие пары на «шахматном балу»?).И если можно составить пары так, что любому элементу первого множестванайдется «компаньон» среди элементов второго множества, а любомуэлементу второго — «компаньон» среди элементов первогомножества, причём каждый элемент входит в одну пару, то следует считать, чтооба множества содержат элементов поровну.

Было строго доказано, что такой способ сравнения множеств не приводитк противоречиям, хотя при этом и возникают «чудеса», подобныеописанным выше. Более того, появляются и новые «чудеса»:например, оказывается, что отрезки разной длины содержат одинаковое«число» точек! Вот как это доказывается:

Из этого рисунка видно, как можно составлять «пары» из точекдвух отрезков — короткого и длинного. При этом, действительно,все точки обоих отрезков «собираются в пары»!

Можно доказать и большее — что на любом отрезке столько жеточек, сколько на всей бесконечной прямой! Мы это сделаем в дваприёма. Сначала докажем, что на отрезке столько же точек, как наполуокружности:

А теперь докажем, что на полуокружности столько же точек, сколько на всейпрямой:

(может быть, некоторые из вас заметили, что для двух крайних точекполуокружности не нашлось точек-«компаньонов» среди точекпрямой, но эта проблема легко решается: можно было, например, с самогоначала взять отрезок без крайних точек).

А как вы думаете, где больше точек — во всём квадрате (включаяего «внутренность») или только на одной его стороне?

Сам Кантор, «отец» теории бесконечных множеств, был уверен, чтов квадрате точек больше. На поиски доказательства этого«очевидного» факта у него ушло три года, и в конце концов ондоказал, что... точек в квадрате столько же, сколько на одной егостороне! Поражённый этим выводом, Кантор писал другому математику: «Явижу это, но не верю этому». И тем не менее доказательство былобезупречным (мы его здесь не приводим — оно не очень простое!).

Может быть, вы решили уже, что все бесконечные множества«одинаковы», то есть содержат одинаковое «число»элементов? Оказывается, и это не так: тот же Кантор показал, что существуетбесконечно много разных бесконечных множеств, причем одни из нихв «бесконечное число раз» больше других! Например, точек наотрезке «больше», чем всех натуральных чисел. Однако точныйсмысл слова «больше» для бесконечных множеств не так простообъяснить, да и, кроме того, мы побаиваемся, что у вас и так уже закружиласьголова от «бесконечных чудес» с бесконечными множествами!

А если она еще не совсем закружилась, то вы, наверное, задались